Question:
If $A^{2}-A+I=0$, then the inverse of $A$ is
(a) $A^{-2}$
(b) $A+1$
(c) $I-A$
(d) $A-1$
Solution:
(c) $I-A$
Given : $A^{2}-A+I=O$
$A^{-1}\left(A^{2}-A+I\right)=A^{-1} O \quad$ [multiplying both sides by $A^{-1}$ ]
$\Rightarrow\left(A^{-1} A^{2}\right)-\left(A^{-1} A\right)+A^{-1} I=O \quad\left[\because A^{-1} O=O\right]$
$\Rightarrow A-I+A^{-1}=O \quad\left[\because A^{-1} I=A^{-1}\right]$
$\Rightarrow A^{-1}=I-A$