Let $a_{1}, a_{2}, \ldots \ldots . ., a_{30}$ be an A. P., $S=\sum_{i=1}^{30} a_{i}$ and $\mathrm{T}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{15} \mathrm{a}_{(2 \mathrm{i}-1)} .$ If $\mathrm{a}_{5}=27$ and $\mathrm{S}-2 \mathrm{~T}=75$, then
$\mathrm{a}_{10}$ is equal to :
Correct Option: , 4
$S=a_{1}+a_{2}+\ldots \ldots+a_{30}$
$S=\frac{30}{2}\left[a_{1}+a_{30}\right]$
$S=15\left(a_{1}+a_{30}\right)=15\left(a_{1}+a_{1}+29 d\right)$
$\mathrm{T}=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3}+\ldots .+\mathrm{a}_{29}$
$=\left(a_{1}\right)+\left(a_{1}+2 d\right) \ldots \ldots+\left(a_{1}+28 \mathrm{~d}\right)$
$=15 \mathrm{a}_{1}+2 \mathrm{~d}(1+2+\ldots .+14)$
$\mathrm{T}=15 \mathrm{a}_{1}+210 \mathrm{~d}$
Now use $\mathrm{S}-2 \mathrm{~T}=75$
$\Rightarrow 15\left(2 \mathrm{a}_{1}+29 \mathrm{~d}\right)-2\left(15 \mathrm{a}_{1}+210 \mathrm{~d}\right)=75$
$\Rightarrow \mathrm{d}=5$
Given $\mathrm{a}_{5}=27=\mathrm{a}_{1}+4 \mathrm{~d} \Rightarrow \mathrm{a}_{1}=7$
Now $\mathrm{a}_{10}=\mathrm{a}_{1}+9 \mathrm{~d}=7+9 \times 5=52$