If $F:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)$ is given by $f(x)=x+\frac{1}{x}$, then $f^{-1}(x)$ equals
(a) $\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}$
(b) $\frac{x}{1+x^{2}}$
(c) $\frac{x-\sqrt{x^{2}-4}}{2}$
(d) $1+\sqrt{x^{2}-4}$
Let $f^{-1}(x)=y$
$\Rightarrow f(y)=x$
$\Rightarrow y+\frac{1}{y}=x$
$\Rightarrow y^{2}+1=x y$
$\Rightarrow y^{2}-x y+1=0$
$\Rightarrow y^{2}-2 \times y \times \frac{x}{2}+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+1=0$
$\Rightarrow y^{2}-2 \times y \times \frac{x}{2}+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=\frac{x^{2}-1}{4}$
$\Rightarrow\left(y-\frac{x}{2}\right)^{2}=\frac{x^{2}-1}{4}$
$\Rightarrow y-\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}$
$\Rightarrow y=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}$
$\Rightarrow y=\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}$
$\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}$
So, the answer is (a).