if 0<a , b<1, and

$\tan ^{-1}\left(\frac{a+b}{1-a b}\right)=\frac{\pi}{4} \Rightarrow a+b=1-a b \Rightarrow(1+a)(1+b)=2$

Now, $(a+b)-\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\right)+\left(\frac{a^{3}+b^{3}}{3}\right) \cdots \infty$

$=\left(a-\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{3} \cdots\right)+\left(b-\frac{b^{2}}{2}+\frac{b^{3}}{3} \cdots\right)$

$\log _{e}(1+a)+\log _{e}(1+b)=\log _{e}(1+a)(1+b)=\log _{0} 2$