Evaluate

To evaluate:

$\lim _{x \rightarrow a}\left\{\frac{(x+2)^{\frac{5}{3}}-(a+2)^{\frac{5}{3}}}{x-a}\right\}$

Formula used: We have,

$\frac{x^{m}-y^{m}}{x-y}=m y^{m-1}$

As $\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{a}$, we have

$\lim _{x \rightarrow a}\left\{\frac{(x+2)^{\frac{5}{3}}-(a+2)^{\frac{5}{3}}}{x-a}\right\}=\lim _{x \rightarrow a}\left\{\frac{(x+2)^{\frac{5}{3}}-(a+2)^{\frac{5}{3}}}{(x+2)-(a+2)}\right\}$

$\lim _{x \rightarrow a}\left\{\frac{(x+2)^{\frac{5}{3}}-(a+2)^{\frac{5}{3}}}{x-a}\right\}=\frac{5}{3}(a+2)^{\frac{5}{3}-1}$

$\lim _{x \rightarrow a}\left\{\frac{(x+2)^{\frac{5}{3}}-(a+2)^{\frac{5}{3}}}{x-a}\right\}=\frac{5}{3}(a+2)^{\frac{2}{3}}$

Thus, the value of $\lim _{x \rightarrow a}\left\{\frac{(x+2)^{\frac{5}{3}}-(a+2)^{\frac{5}{3}}}{x-a}\right\}$ is $\frac{5}{3}(a+2)^{\frac{2}{3}}$